Cinemàtica en 2D

Teoria · Part I

Composició de moviments

Una velocitat sempre és respecte d'algú. “L'home va a 6 km/h” no vol dir res fins que dius respecte de què: de la cinta, o del fotògraf que està quiet a terra.

La idea clau

Un home camina a 6 km/h respecte la cinta, i la cinta va a 8 km/h respecte el fotògraf. Llavors, respecte el fotògraf:

v_home/terra = v_home/cinta + v_cinta/terra

Mateix sentit: 6 + 8 = 14 km/h
Sentit contrari: 6 − 8 = −2 km/h (el veus anar enrere a 2 km/h)
Si camina a 8 km/h contra una cinta de 8 km/h: quiet respecte el fotògraf.

Truc per no equivocar-te: escriu els subíndexs com una cadena. El del mig desapareix: home/~~cinta~~ + ~~cinta~~/terra = home/terra.

Transformades de Galileu

Observador O quiet a la via, observador O' quiet dins el tren (que va amb velocitat constant v_O'). Tots dos són sistemes inercials (es mouen l'un respecte l'altre amb MRU). Per a un objecte P (una pilota dins el tren):

r_P = r_O' + r'_P (posicions)

v_P = v_O' + v'_P (velocitats)

a = a' (acceleracions iguals)

Les magnituds amb prima (') són les que mesura O'. Són vectors: tenen direcció i sentit, per això se sumen com a vectors i no sempre com a números.

Per què a = a'?

Perquè v_O' és constant. Si la pilota augmenta la velocitat 1 m/s cada segon dins el tren, també l'augmenta 1 m/s cada segon vista des de la via: la constant v_O' no canvia quan derives.

Simulador 1D: cintes i escales mecàniques

Dos carrils paral·lels. Cada carril es mou amb la seva velocitat (respecte el terra) i a sobre hi ha algú que es mou respecte el carril. Positiu = cap a la dreta (“amunt”).

Carril A (respecte terra)

Objecte A (respecte el carril)

Carril B

Carril B (respecte terra)

Objecte B (respecte el carril)

Cert o fals? (preguntes de classe)

Contesta abans de mirar l'explicació. Moltes depenen de respecte de qui.

Sumar vectors i passar a polars

Quan les velocitats no són paral·leles (barca + corrent), se sumen component a component:

v = (v_x, v_y) = (a_x + b_x, a_y + b_y)

I després passes de cartesianes a polars: 1r el mòdul, 2n l'argument (angle):

|v| = √(v_x² + v_y²) tan φ = v_y / v_x → φ = arctan(v_y/v_x)

Arrossega les puntes dels vectors a i b. El vector a + b va de l'origen a la punta de b (regla del polígon).

Compte amb l'angle. La calculadora dona arctan entre −90° i 90°. Si v_x < 0 el vector és al 2n o 3r quadrant i has de sumar 180°. Fes sempre un dibuix per saber on cau.

Quin angle et demanen? En els rius, sovint et demanen l'angle amb la perpendicular a la riba (tan φ = v_corrent/v_barca), no amb la riba. Són complementaris: sumen 90°.

Simulador · MRU + MRU

Creuar un riu

El riu corre en l'eix X, l'amplada és l'eix Y. La barca té una velocitat respecte l'aigua (on apunta la proa) i l'aigua l'arrossega. Cada eix és un MRU independent.

Amplada del riu d

Velocitat del corrent v_c

Velocitat de la barca v_b

Angle de la proa θ

0° = perpendicular a la riba. Positiu = contra corrent (riu amunt).

v_b (barca respecte l'aigua) v_c (corrent) v (respecte la riba)

Les equacions

Amb la proa a un angle θ de la perpendicular (θ positiu = contra corrent):

v_x = v_c − v_b·sin θ

v_y = v_b·cos θ

x(t) = v_x·t y(t) = v_y·t

Arriba a l'altra riba quan y = d → t = d / v_y. Després x = v_x·t és on arriba (positiu = riu avall).

Tres casos que surten sempre

Proa perpendicular (θ = 0): t = d / v_b, deriva x = v_c·t, angle amb la perpendicular tan φ = v_c/v_b, |v| = √(v_b² + v_c²). És la manera més ràpida de creuar.
Arribar just davant: cal v_x = 0 → sin θ = v_c/v_b. Només és possible si v_b > v_c. Triga més: v_y = √(v_b² − v_c²).
Proa amb un angle qualsevol: descompon v_b en x i y, suma el corrent a x.

Per què el corrent no canvia el temps de creuar (proa perpendicular)?

El corrent només té component X. El temps de creuar depèn només del moviment en Y, i en Y només hi ha la barca. El corrent fa que arribis més avall, no més tard. Prova-ho al simulador: canvia v_c amb θ = 0 i mira que t no es mou.

Exercicis · Composició MRU

Exercicis de composició de moviments

Escriu les teves respostes (amb decimals, coma o punt) i prem Comprova. Si et quedes encallat, obre els passos un per un. El botó Obre al simulador hi carrega les dades de l'exercici. A cada exercici tens les Eines (calculadora científica, formulari, unitats i pissarra) al costat, i un espai per a les teves notes.

Mètode per a qualsevol problema de rius: (1) dibuixa el riu, posa X en el sentit del corrent i Y a través; (2) descompon la velocitat de la barca; (3) suma el corrent a la component X; (4) el temps surt de l'eix Y (y = d); (5) amb aquest temps, calcula x.

Teoria · Part II

Moviment parabòlic

El moviment parabòlic es produeix quan un cos té una acceleració constant que no és paral·lela a la velocitat. A la Terra: a = g = −9,8 m/s² (constant i vertical). Tindrem moviment parabòlic sempre que es llanci un objecte amb una velocitat inicial no vertical.

Què cal per definir-lo

Un sistema d'eixos XY i tres coses:

Posició inicial (x₀, y₀): des d'on es llança (una torre, un penya-segat...)
Velocitat inicial: mòdul v₀ i direcció α
Acceleració: (0, −g)

És la composició de dos moviments independents:

Eix X: MRU (no hi ha res que acceleri en horitzontal)
Eix Y: MRUA amb a = −g

Analitza i reflexiona

Una pilota xutada, un saltador de llargada, l'aigua d'una font, un paquet llançat des d'un avió... tots dibuixen una paràbola. Què tenen en comú? Una velocitat inicial amb component horitzontal i la gravetat tirant cap avall.

I a la Lluna?

A la Lluna g = 1,62 m/s², unes 6 vegades menys. Amb la mateixa velocitat inicial, el temps de vol, l'alçada màxima i l'abast es multipliquen per ~6. La forma continua essent una paràbola. Prova-ho al simulador de tir canviant “Gravetat” a Lluna.

Per què X i Y són independents?

La gravetat és vertical: no té component X, així que no pot canviar v_x. Si deixes caure una pilota i en llances una altra horitzontalment des de la mateixa alçada, toquen a terra alhora: en vertical fan exactament el mateix moviment.

Equacions del moviment parabòlic

	Tipus de moviment	Velocitat inicial	Equació del moviment	Equació de la velocitat
Eix horitzontal (OX)	MRU	v_0x = v₀·cos α	x(t) = x₀ + v_0x·t	v_x = v_0x = constant
Eix vertical (OY)	MRUA	v_0y = v₀·sin α	y(t) = y₀ + v_0y·t − ½·g·t²	v_y(t) = v_0y − g·t

(Si el rellotge no comença a 0, canvia t per (t − t₀).) La velocitat en qualsevol instant: |v| = √(v_x² + v_y²), angle tan φ = v_y/v_x.

Punt singular 1: altura màxima

És el punt on el mòbil canvia de sentit en l'eix vertical: v_y = 0.

v_0y − g·t = 0 → t_màx = v_0y / g

y_màx = y₀ + v_0y² / (2g)

Atenció: al punt més alt continua existint v_x = v_0x. No tota la velocitat és 0! Només la vertical.

Punt singular 2: abast

És el valor de x quan acaba el moviment, el punt més lluny.

Si impacta al terra: imposa y(t) = 0 i resol l'equació de 2n grau (queda't el t positiu).
Si impacta a una altra altura (un arbre, un terrat, una cistella): imposa y(t) = h.

Des del terra (y₀ = 0): x_màx = v₀²·sin(2α) / g

Aquesta drecera només serveix si surt i arriba a la mateixa alçada. Màxim a α = 45°. Angles complementaris (30° i 60°) donen el mateix abast.

Mètode per a qualsevol tir: (1) dibuix amb l'origen i els eixos (on és y = 0?); (2) v_0x = v₀ cos α, v_0y = v₀ sin α (passa km/h a m/s!); (3) escriu x(t), y(t), v_y(t); (4) tradueix la pregunta a una condició (v_y = 0, y = 0, y = h, x = d); (5) treu t de la condició; (6) substitueix t a les altres equacions.

Cert o fals? (moviment parabòlic)

Simulador · MRU + MRUA

Simulador de tir parabòlic

Canvia la velocitat, l'angle i l'alçada inicial. Mou la barra de temps per veure les components de la velocitat en cada instant: v_x no canvia mai, v_y baixa 9,8 m/s cada segon.

Velocitat inicial v₀

Angle α

Alçada inicial y₀

Gravetat

Objectiu (x, y)

2n objecte en MRU horitzontal

x₀ v

alçada

t = 0 s

v_x v_y v

y(t): paràbola (MRUA). El màxim és on v_y = 0.

x(t): recta (MRU). El pendent és v_x.

v_x(t) horitzontal, v_y(t) recta de pendent −g. Talla 0 al punt més alt.

Exercicis · Moviment parabòlic

Exercicis de moviment parabòlic

Tots amb g = 9,8 m/s². Cada exercici es pot obrir al simulador amb les seves dades per veure la trajectòria i comprovar el resultat.

Practica

Problemes nous, sense fi

Cada clic genera un problema amb números nous. Resol-lo a la llibreta, escriu el resultat i comprova'l. Si falles, la solució surt pas a pas.

Resum

Formulari i errors típics

Composició

v_A/terra = v_A/B + v_B/terra

Riu: v_x = v_c − v_b sin θ

v_y = v_b cos θ, t = d / v_y

Just davant: sin θ = v_c/v_b

|v| = √(v_x² + v_y²)

Parabòlic

x = x₀ + v₀ cos α · t

y = y₀ + v₀ sin α · t − ½ g t²

v_y = v₀ sin α − g t

y_màx: v_y = 0

abast: y = 0 (o y = h)

Errors típics

No passar km/h a m/s (÷ 3,6). 180 km/h = 50 m/s.
Dir que al punt més alt v = 0 (és v_y = 0).
Calculadora en radiants en lloc de graus.
Quedar-se amb el t negatiu de l'equació de 2n grau.
Usar x = v₀² sin 2α / g quan surt d'una torre.
Barrejar l'angle amb la riba i amb la perpendicular.
Sumar mòduls de vectors perpendiculars (20 + 15 ≠ 25!).